(滿分：100分考試時(shí)間：150分鐘)

專業(yè)基礎(chǔ)知識(shí)

一、選擇題(本大題共10小題，每小題3分,共30分)

1. 1978年，我國(guó)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值是3 645億元，2007年升至249 530億元。將249 530億元用科學(xué)計(jì)數(shù)表示為()。

A.24.953×1013元B.24.953×1012元

C.2.4953×1013元D.2.4953×1014元

2.右圖中圓與圓之間不同的位置關(guān)系有()。

A.2種B.3種

C.4種D.5種

3.王老師為了了解本班學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān)情況，在班中隨機(jī)調(diào)查了10名學(xué)生，他們每人上周平均每天完成家庭作業(yè)所用的時(shí)間(單位：小時(shí))分別是：1.5，2，2，2，2.5，2.5，2.5，2.5，3，3.5。則這10個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)和眾數(shù)分別是()。

A.2.4，2.5B.2.4，2

C.2.5，2.5D.2.5，2

4.若用半徑為9，圓心角為120°的扇形圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面(接縫忽略不計(jì))，如圖所示，則這個(gè)圓錐的底面半徑是()。

A.1.5B.2

C.3D.6

5.已知y1=ax2,y2=ax;且y1、y2有兩個(gè)交點(diǎn)，在同一直角坐標(biāo)系中，兩個(gè)函數(shù)的圖像有可能是()。

6.已知{an}是等差數(shù)列，a1=-9,S3=S7,那么使其前n項(xiàng)和Sn最小的n是()。

A.4B.5

C.6D.7

7.設(shè)a、b是滿足ab<0的實(shí)數(shù)，那么()。

A.|a+b|>|a-b|B.|a+b|<|a-b|

C.|a-b|<|a|-|b|D.|a-b|<|a|+|b|

8.棱長(zhǎng)都為2的四面體的四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為()。

A.3πB.4π

C.33πD.6π

9.給定四條曲線：①x2+y2=52，②x29+y24=1，③x2+y24=1，④x24+y2=1，其中與直線x+y-5=0僅有一個(gè)交點(diǎn)的曲線是()。

A.①②③B.②③④

C.①②④D.①③④

10.定義函數(shù)y=f(x),x∈D，若存在常數(shù)C，對(duì)任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得f(x1)+f(x2)2=C，則稱函數(shù)f(x)在D上的均值為C。已知f(x)=lgx,x∈[10,100]，則函數(shù)f(x)=lgx在x∈[10,100]上的均值為()。

A.32B.34

C.710D.10

二、填空題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)

11.如圖，AD∥BC，BD平分∠ABC，且∠A=110°，則∠DBC。

第11題圖

第12題圖

12.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(其中標(biāo)注的a、b、c為相應(yīng)的邊長(zhǎng))，則這個(gè)幾何體的體積是。

13.不等式1-2xx+1>0的解集是。

14.已知0 　　15.不論k為何實(shí)數(shù)，直線y=kx+1與曲線x2+y2-2ax+a2-2a-4=0恒有交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是。

三、解答題(本大題共4小題，共35分)

16. (本小題滿分5分)

如圖是一個(gè)幾何體的三視圖。

(1)寫出這個(gè)幾何體的名稱;

(2)根據(jù)所示數(shù)據(jù)計(jì)算這個(gè)幾何體的表面積;

(3)如果一只螞蟻要從這個(gè)幾何體中的點(diǎn)B出發(fā)，沿表面爬到AC的中點(diǎn)D，請(qǐng)你求出這個(gè)線路的最短路程。

17.(本小題滿分12分)

研究所對(duì)某種新型產(chǎn)品的產(chǎn)銷情況進(jìn)行了研究，為投資商在甲、乙兩地生產(chǎn)并銷售該產(chǎn)品提供了如下成果：第一年的年產(chǎn)量為x(噸)時(shí)，所需的全部費(fèi)用y(萬元)與x滿足關(guān)系式y(tǒng)=110x2+5x+90，投入市場(chǎng)后當(dāng)年能全部售出，且在甲、乙兩地每噸的售價(jià)p甲、p乙(萬元)均與x滿足一次函數(shù)關(guān)系。(注：年利潤(rùn)=年銷售額-全部費(fèi)用)

(1)成果表明，在甲地生產(chǎn)并銷售x噸時(shí)，p甲=-120x+14，請(qǐng)你用含x的代數(shù)式表示甲地當(dāng)年的年銷售額，并求年利潤(rùn)w甲(萬元)與x之間的函數(shù)關(guān)系式;

(2)成果表明，在乙地生產(chǎn)并銷售x噸時(shí)，p乙=-110x+n(n為常數(shù))，且在乙地當(dāng)年的最大年利潤(rùn)為35萬元。試確定n的值;

(3)受資金、生產(chǎn)能力等多種因素的影響，某投資商計(jì)劃第一年生產(chǎn)并銷售該產(chǎn)品18噸，根據(jù)(1)、(2)中的結(jié)果，請(qǐng)你通過計(jì)算幫他決策，選擇在甲地還是乙地產(chǎn)銷才能獲得較大的年利潤(rùn)?

參考公式：拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是-b2a，4ac-b24a。

18.(本小題滿分8分)

甲、乙兩同學(xué)用一副撲克牌中牌面數(shù)字分別是3、4、5、6的4張牌做抽數(shù)字游戲。游戲規(guī)則是：將這4張牌的正面全部朝下，洗勻，從中隨機(jī)抽取一張，抽得的數(shù)作為十位上的數(shù)字，然后，將所抽的牌放回，正面全部朝下，洗勻，再?gòu)闹须S機(jī)抽取一張，抽得的數(shù)作為個(gè)位上的數(shù)字，這樣就得到一個(gè)兩位數(shù)。若這個(gè)兩位數(shù)小于45，則甲獲勝，否則乙獲勝。你認(rèn)為這個(gè)游戲公平嗎?請(qǐng)運(yùn)用概率知識(shí)說明理由。

19.(本小題滿分10分)

小明想利用太陽(yáng)光測(cè)量樓高。他帶著皮尺來到一棟樓下，發(fā)現(xiàn)對(duì)面墻上有這棟樓的影子，針對(duì)這種情況，他設(shè)計(jì)了一種測(cè)量方案，具體測(cè)量情況如下：

如示意圖，小明邊移動(dòng)邊觀察，發(fā)現(xiàn)站到點(diǎn)E處時(shí)，可以使自己落在墻上的影子與這棟樓落在墻上的影子重疊，且高度恰好相同。此時(shí)，測(cè)得小明落在墻上的影子高度CD=1.2m，CE=0.8m，CA=30m(點(diǎn)A、E、C在同一直線上)。

已知小明的身高EF是1.7m，請(qǐng)你幫小明求出樓高AB(結(jié)果精確到0.1m)。

【參考答案】

一、選擇題

1.C 【解析】249 530億元=2.4953×1013元。

2.A 【解析】圓與圓的位置關(guān)系有四種：相交、相切、外離、內(nèi)含。本題圓的位置關(guān)系為相交與相切。

3.A 【解析】出現(xiàn)次數(shù)最多的是眾數(shù)：2.5，平均數(shù)可直接計(jì)算。

4.C 【解析】120°πR2180°=2πR∴R=3。

5.C 【解析】根據(jù)一次函數(shù)和二次函數(shù)圖像性質(zhì)逐一排除，可選C。

6.B 【解析】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=d2n2+(a1-d2)n可表示為過原點(diǎn)的拋物線，又本題中a1=-9<0,S3=S7,可表示如圖，由圖可知，n=3+72=5是拋物線的對(duì)稱軸，所以n=5時(shí),Sn最小，故選B。

7.B 【解析】∵A、B是一對(duì)矛盾命題，故必有一真，從而排除錯(cuò)誤項(xiàng)C、D。又由ab<0，可令a=1、b=-1，代入知B為真，故選B。

8.A 【解析】借助立體幾何的兩個(gè)熟知的結(jié)論：(1)一個(gè)正方體可以內(nèi)接一個(gè)正四面體;(2)若正方體的頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則正方體的對(duì)角線就是球的直徑�？梢钥焖偎愠銮虻陌霃絉=32，從而求出球的表面積為3π，故選A。

9.D 【解析】分析選擇項(xiàng)可知，四條曲線中有且只有一條曲線不符合要求，故可考慮找不符合條件的曲線從而篩選，而在四條曲線中②是一個(gè)面積最大的橢圓，故可先看②，顯然直線和曲線x29+y24=1是相交的，因?yàn)橹本�上的點(diǎn)(5,0)在橢圓內(nèi)，對(duì)照選項(xiàng)故選D。

10.A 【解析】f(x1)+f(x2)2=lg(x1x2)2=C，從而對(duì)任意的x1∈[10,100]，存在唯一的x2∈[10,100]，使得x1、x2為常數(shù)。充分利用題中給出的常數(shù)10、100。令x1x2=1 000,當(dāng)x1∈[10,100]時(shí)，x2=1 000x1∈[10,100]，由此得C=lg(x1x2)2=32。故選A。

二、填空題

11.35°

【解析】略。

12.abc

【解析】略。

13.x-1 　　【解析】不等式1-2xx+1>0等價(jià)于(1-2x)(x+1)>0，也就是x-12(x+1)<0，所以-1 　　

14.m 　　【解析】∵loga(1+t)+loga(1-t)=loga(1-t2)，不論a的值如何，loga(1-t2)與loga(1-t)同號(hào)，所以m 　　

15.-1≤a≤3

【解析】題設(shè)條件等價(jià)于點(diǎn)(0，1)在圓內(nèi)或圓上，或等價(jià)于點(diǎn)(0，1)到圓(x-a)2+y2=2a+4的圓心的距離不超過半徑，∴-1≤a≤3。

三、解答題

16.解：(1)圓錐;

(2)表面積：S=S扇形+S圓=πrl+πr2=12π+4π=16π(平方厘米);

(3)如圖將圓錐側(cè)面展開，線段BD為所求的最短路程。

由條件得，∠BAB′=120°，C為弧BB′中點(diǎn)，所以BD=33。

17.解：(1)甲地當(dāng)年的年銷售額為-120x2+14x萬元，

w甲=-320x2+9x-90。

(2)在乙地生產(chǎn)并銷售時(shí)，

年利潤(rùn)w乙=-110x2+nx-110x2+5x+90=-15x2+(n-5)x-90。

由4×-15×(-90)-(n-5)24×-15=35，解得n=15或-5。

經(jīng)檢驗(yàn)，n=-5不合題意，舍去，∴n=15。

(3)在乙地生產(chǎn)并銷售時(shí)，年利潤(rùn)w乙=-15x2+10x-90，

將x=18代入上式，得w乙=25.2(萬元);

將x=18代入w甲=-320x2+9x-90，得w甲=23.4(萬元)。

∵w乙>w甲，∴應(yīng)選乙地。

18.解：這個(gè)游戲不公平，游戲所有可能出現(xiàn)的結(jié)果如下表：

第二次第一次

3456

333343536

443444546

553545556

663646566

表中共有16種可能結(jié)果，小于45的兩位數(shù)共有6種。

∴P(甲獲勝)=616=38，P(乙獲勝)=1016=58。

∵38≠58，

∴這個(gè)游戲不公平。

19.

解：過點(diǎn)D作DG⊥AB，分別交AB、EF于點(diǎn)G、H，

則EH=AG=CD=1.2

DH=CE=0.8，DG=CA=30

∵EF∥AB

∴FHBG=DHDG

由題意，知FH=EF-EH=1.7-1.2=0.5

∴0.5BG=0.830，解之，得BG=18.75

∴AB=BG+AG=18.75+1.2=19.95≈20.0

∴樓高AB約為20.0m。