§7.3兩條直線的位置關(guān)系
4、點(diǎn)到直線的距離（說課教案）
一．教材分析：
1．本節(jié)教材在本章中的地位和作用：
本章內(nèi)容作為高中數(shù)學(xué)中僅有的兩章解析幾何知識(shí)的第一章，是屬于解析幾何學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，不但是進(jìn)一步學(xué)習(xí)圓錐曲線以及其他曲線方程的基礎(chǔ)，也是學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)，微分、積分等的基礎(chǔ)，在解決許多實(shí)際問題中有著廣泛的應(yīng)用，而本節(jié)教材是本章教材三大部分的第一部分中的重要內(nèi)容，是本章環(huán)環(huán)緊扣的知識(shí)鏈中必不可少的一環(huán)。
這節(jié)課“點(diǎn)到直線的距離”是本節(jié)教材“兩直線的位置關(guān)系”的最后一個(gè)內(nèi)容，在解決實(shí)際生活問題中以及代數(shù)、解析幾何、立體幾何中都有著重要而廣泛的應(yīng)用。例如：求最小值問題，對(duì)一些新知識(shí)新概念的定義，建立方程的問題等等，立竿見影，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式都可以簡(jiǎn)便迅速地解決問題，還可使學(xué)生形成完整的直線這部分知識(shí)的結(jié)構(gòu)體系。
2、本節(jié)內(nèi)容的具體安排及編寫思路：
出于簡(jiǎn)潔性的考慮，教材編寫單刀直入地直接提出核心問題，并給予解決的方法。我編寫本節(jié)教案時(shí)，通過創(chuàng)設(shè)問題情境引入課題，降低難度，教給學(xué)生從特殊到一般的研究問題的方法和策略，激發(fā)學(xué)生去解決問題，探究問題，得出結(jié)論。在這個(gè)過程中，老師作適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥、引導(dǎo)，讓學(xué)生逐步逼近目標(biāo)，充分展示數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的思維過程，讓學(xué)生均能自覺主動(dòng)地參與進(jìn)來。教師的主導(dǎo)作用，學(xué)生的主體地位都得以充分體現(xiàn)，然后讓學(xué)生自己歸納、總結(jié)得出結(jié)論，享受成功的喜悅和快樂。對(duì)教材上的例10、例11，由于是直接應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式，較易，故我讓學(xué)生直接去閱讀、去理解，熟悉點(diǎn)到直線的距離公式。但對(duì)例11的稍許變化，卻抓住不放，通過例11的解法的啟示，激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步去應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式去探究二平行直線間的距離公式，利用有限的時(shí)間和學(xué)生剛成功的那一股學(xué)習(xí)的慣性，對(duì)教材進(jìn)行拓廣，讓學(xué)生對(duì)歸納總結(jié)出的公式有更加深刻、透徹的理解和掌握，達(dá)到靈活應(yīng)用的目的。
3．教學(xué)目標(biāo)：
1）、使學(xué)生掌握點(diǎn)到直線的距離公式及結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，并能熟練準(zhǔn)確的應(yīng)用這一公式，達(dá)到理解掌握知識(shí)的目的。
2）、學(xué)會(huì)尋找點(diǎn)到直線距離公式的思維過程及推導(dǎo)方法，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、探究問題的能力。
3）、教學(xué)中體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，分類討論的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生在研究討論問題時(shí)的數(shù)學(xué)技能和實(shí)際動(dòng)手能力以及思維的嚴(yán)密性。
4）、教學(xué)中鼓勵(lì)同學(xué)相互討論，取長(zhǎng)補(bǔ)短，培養(yǎng)學(xué)生的合作意識(shí)和團(tuán)隊(duì)精神。
4．重點(diǎn)、難點(diǎn)：
理解和掌握點(diǎn)到直線的距離公式，熟練的應(yīng)用公式求點(diǎn)到直線的距離是本節(jié)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，難點(diǎn)是點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo)。
二．學(xué)情分析：
我所在的學(xué)校——四川省渠縣中學(xué)，雖然是一個(gè)國(guó)家級(jí)重點(diǎn)中學(xué)，但同時(shí)又由于渠縣是一個(gè)農(nóng)業(yè)大縣，一個(gè)國(guó)家級(jí)貧困縣，80%以上的學(xué)生來自偏遠(yuǎn)的鄉(xiāng)村及山區(qū)，教育理念和教育水平都較落后，學(xué)生在小學(xué)、初中階段基本上都是在死記硬背、囫圇吞棗中渡過的，很少在數(shù)學(xué)上享受過真正意義上的研究問題、探索發(fā)現(xiàn)問題的樂趣，都習(xí)慣于跟著老師的思路走，不善于自己開動(dòng)腦筋去研究問題、探索問題。鑒于此，我們?cè)诮虒W(xué)中正逐步采用探索式教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生自己理解、掌握知識(shí)，逐步培養(yǎng)和提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、探索問題的能力，以及合作意識(shí)和合作精神的目的。
三．主要教學(xué)構(gòu)想：
通過創(chuàng)設(shè)問題情景自然引入課題，降低教材難度。主要由學(xué)生去探究，去發(fā)現(xiàn)，去討論，去歸納總結(jié)得到公式，再輔以適當(dāng)?shù)睦}、習(xí)題幫助學(xué)生熟悉公式，學(xué)會(huì)運(yùn)用。特別是引導(dǎo)學(xué)生對(duì)例11的進(jìn)一步探究，既拓廣了教材，又進(jìn)一步加深了同學(xué)們對(duì)從特殊到一般的研究方法的理解。從而達(dá)到探究——討論——?dú)w納總結(jié)——完善結(jié)論——牢固掌握——靈活運(yùn)用的目的。
四．教學(xué)過程：
1．創(chuàng)設(shè)問題情境：
實(shí)例：某供電局計(jì)劃年底解決本地區(qū)最后一個(gè)村莊的用電問題，經(jīng)過測(cè)量，若按部門內(nèi)部設(shè)計(jì)的坐標(biāo)圖（即以供電局為直角坐標(biāo)原點(diǎn)，正東方向?yàn)閤軸的正半軸，正北方向?yàn)閥軸的正半軸，長(zhǎng)度單位為千米），得知這個(gè)村莊的坐標(biāo)是（15，20），離它最近的只有一條直線線路通過，其方程為：3x–4y–10=0,問要完成任務(wù)，至少需要多長(zhǎng)的電線？（如圖4—1所示）
〈字幕出示題及圖，讓學(xué)生閱讀、理解、思考，約2分鐘〉
引入課題：
[師講]同學(xué)們，通過剛才的讀題和理解已經(jīng)知道，這實(shí)際上是一個(gè)求點(diǎn)到直線的距離的問題，也即我們這節(jié)課所要研究討論的問題。
2．解決問題情境：
[師繼續(xù)講]下面，請(qǐng)同學(xué)們應(yīng)用已學(xué)過的知識(shí)，自己想一個(gè)辦法來解決此問題，甚至不一定要求結(jié)果，只要得出一個(gè)思路即可。
〈讓同學(xué)思考、討論約5分鐘，然后讓學(xué)生自己舉手回答，老師點(diǎn)評(píng)，約10分鐘〉
學(xué)生可能的回答：
[答一]拉一根繩子量一下即可。
[師問]可以，但哪里去找那么長(zhǎng)的繩子？還有其它辦法嗎？
可能會(huì)有學(xué)生眾補(bǔ)充：測(cè)距儀！測(cè)距儀！
[師肯定]好辦法！將來肯定是做工程師的材料！請(qǐng)坐下。
[師繼續(xù)]但如果由于條件的限制，我們手里僅有紙、筆及三角板（或直尺），能不能發(fā)揮我們的數(shù)學(xué)特長(zhǎng)，用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)來解決呢？
可以肯定，被開方式是一個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)為正的二次函數(shù)，x0又不受限制，應(yīng)該有最小值，從而︱PQ︱有最小值，此最小值即為所求。
[師肯定]好思路！既利用了直線方程設(shè)出了直線上的一點(diǎn)，又利用兩點(diǎn)間的距離公式得到了一個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)為正的二次函數(shù)，且不管根號(hào)的影響，大著膽子求二次函數(shù)的最小值，求出的最小值開平方即得結(jié)果。但要考慮兩個(gè)問題：①求出的二次函數(shù)的最小值有無為負(fù)數(shù)的可能？②此種方法的運(yùn)算量是否偏大？同學(xué)們可利用課后時(shí)間試著推演一下。
[答三]要求點(diǎn)P到直線上的點(diǎn)的最短距離，即求點(diǎn)P到直線的距離，由點(diǎn)到直線距離的概念，直接過點(diǎn)P作PQ垂直于直線于Q點(diǎn)，則線段PQ的長(zhǎng)即為所求。（如圖4—2所示）
Q的坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)間的距離公式可得出：︱PQ︱=9
[師肯定]好思路！直接運(yùn)用了剛學(xué)過的直線的方程，二直線的交點(diǎn)，二直線垂直的條件，兩點(diǎn)間的距離公式等知識(shí)，用到了解析幾何的基本方法。在有數(shù)據(jù)做具體運(yùn)算時(shí)不失為一種好方法，但仍有一定的運(yùn)算量。不信，同學(xué)們下來后又可驗(yàn)算一番。
[答四]<可能預(yù)習(xí)過教材的同學(xué)>
過P作PQ垂直于直線于Q點(diǎn)，則PQ即為所求，再過點(diǎn)P分別作軸、軸的平行線分別交直線于M，N點(diǎn)（如圖4—3所示）
[師肯定]方法相當(dāng)不錯(cuò)！既有數(shù)形結(jié)合的思想，構(gòu)造的思想，又妙用了解析幾何中坐標(biāo)的概念，直線上的點(diǎn)的概念及兩點(diǎn)間的距離公式等知識(shí)。但為什么如此做呢？（老師分析、歸納）：該做法充分運(yùn)用了點(diǎn)P的坐標(biāo)的意義，通過體現(xiàn)點(diǎn)P的坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)過P作軸、軸的平行線時(shí)與直線有二交點(diǎn)，這二交點(diǎn)與點(diǎn)P自然而然地構(gòu)成了一個(gè)直角三角形，又由于這二交點(diǎn)在直線上，從而可得二交點(diǎn)的坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)間的距離公式可進(jìn)一步得到直角三角形的三條邊長(zhǎng)，至此，由直角三角形面積公式得到點(diǎn)P到直線的距離|PQ|也就是水到渠成的事情了。但仍顯得有一定的運(yùn)算量。
�。ㄈ绻麑W(xué)生還有其它解法，老師可在黑板上隨機(jī)應(yīng)變地板書。）
�。ㄈ绻麑W(xué)生一個(gè)方法均未想到，老師可作如下引導(dǎo)：<字幕逐條顯示，圖形中的線段依順序逐一顯示>
�、� 什么是點(diǎn)P到直線的距離？
過P作直線的垂線，垂足為Q，則|PQ|即是點(diǎn)P到直線的距離。（如圖4—4所示）
② 點(diǎn)P的坐標(biāo)的意義如何？
過P分別作軸、軸的垂線，垂足分別為K、I，則有向線段KP、IP的數(shù)量即為點(diǎn)P的坐標(biāo)。
③ 體現(xiàn)一下點(diǎn)P的坐標(biāo)如何？
發(fā)現(xiàn)，過P作軸的垂線時(shí)，與直線有一交點(diǎn)N，且N點(diǎn)的橫坐標(biāo)與點(diǎn)P的橫坐標(biāo)一致，而N點(diǎn)在直線上，從而由直線的方程可得N點(diǎn)的縱坐標(biāo)，進(jìn)而得線段PN的長(zhǎng)。
受此啟發(fā)，過P作軸的垂線PI時(shí)，由于與直線無交點(diǎn)，故作PI的反向延長(zhǎng)線與直線交于點(diǎn)M，從而點(diǎn)M的縱坐標(biāo)與點(diǎn)P的縱坐標(biāo)一致，且橫坐標(biāo)通過直線的方程也易求得，線段PM的長(zhǎng)也就求得了。
④眼前一亮，直角三角形MPN已渾然天成，且MN的長(zhǎng)也可由兩點(diǎn)間距離公式求得，從而由直角三角形面積公式可求得|PQ|的長(zhǎng)。
3．點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo)：〈15分鐘〉
[師講]通過前面[答二]、[答三]、[答四]，我們都遇到了同一個(gè)攔路虎，即運(yùn)算量較大的問題，而我們今后將會(huì)遇到大量的類似問題，如果都如此運(yùn)算，未免太浪費(fèi)寶貴的時(shí)間。此時(shí)此刻，我們多么需要有一個(gè)簡(jiǎn)便的運(yùn)算點(diǎn)到直線的距離的公式來解救我們！
下面，就讓我們?nèi)ヌ骄窟@個(gè)公式吧，用我們今天的辛苦去換取我們明天的簡(jiǎn)捷吧�。ò凳竟降拇嬖冢ぐl(fā)同學(xué)們探究的興趣，增強(qiáng)同學(xué)們探究成功的信心。）
[出示問題]在平面直角坐標(biāo)系中，如果已知某點(diǎn)P的的坐標(biāo)為（）,直線的方程是Ax+By+C=0,（如圖所示），怎樣由點(diǎn)的坐標(biāo)和直線的方程去直接求點(diǎn)P到直線的距離？
[師講]下面，仍然請(qǐng)同學(xué)們自己想辦法解決此問題。（可以讓前面一排的同學(xué)轉(zhuǎn)過去與后面的同學(xué)每四個(gè)人一組進(jìn)行討論解決。老師到同學(xué)們中間去巡視，了解同學(xué)們的思路，及時(shí)的加以點(diǎn)撥，同時(shí)也對(duì)同學(xué)們的探究方法和探究能力做到心中有數(shù)。）
[老師估計(jì)]由于有前面的[答二]、[答三]、[答四]或老師的引導(dǎo)作鋪墊，（這個(gè)鋪墊非常重要！故前面占用了較多的時(shí)間也不可惜�。┕蚀蠖鄶�(shù)同學(xué)可能會(huì)按[答四]的方法做：<老師可以作預(yù)見性的字幕板書，在大多數(shù)同學(xué)完成后再出示。如有同學(xué)按[答三]的思路做，老師提示，運(yùn)算量太大，一般不采用。>
過點(diǎn)P作軸的平行線，交于點(diǎn)R（）；作軸的平行線，交于點(diǎn)S（）。（如圖4—5所示）
此時(shí)，可能同學(xué)們會(huì)大舒一口氣，但老師緊接著進(jìn)一步提出：“諸位，考慮到A,B為零的情況沒有？請(qǐng)進(jìn)一步考慮一下A,B為零的情況如何？”
<抓住同學(xué)們思維不慎密之處，體現(xiàn)嚴(yán)密的邏輯思維，體現(xiàn)分類討論的思想>
同學(xué)們的思維可能又重新活躍起來，進(jìn)行分類討論：
四川省渠縣中學(xué)數(shù)學(xué)組 張銘
2004年9月